Тензор кривизны римана

Геометрический смысл

Иллюстрация мотивации римановой кривизны на Л

сферы

-как многообразия. Тот факт , что этот транспорт может определить два различных вектора в начальной точке приводит к тензором кривизны Римана.

Под прямым углом

символ обозначает , что

скалярное произведение

(задается

метрическим тензором

) между транспортируемых векторами (или касательных векторов кривых) = 0.

Неофициально

Можно увидеть эффект искривленного пространства, сравнивая теннисный корт и Землю. Начало в нижнем правом углу теннисного корта с ракеткой протягивал на север. Затем, идя по контуру суда, на каждый шаге убедитесь , что теннисная ракетка поддерживается в той же ориентации, параллельно его прежние позиции.

После того, как цикл будет завершен, теннисные ракетки будут параллельно своей первоначальной стартовой позиции. Это потому , что теннисные корты построены таким образом поверхность является плоской. С другой стороны, поверхность Земли искривлена: мы можем завершить цикл на поверхности Земли. Начиная с экватора, указывают теннисную ракетку на север вдоль поверхности Земли.

https://www.youtube.com/watch?v=upload

Еще раз теннисные ракетки должны всегда оставаться параллельно своей прежней позиции, используя локальную плоскость горизонта в качестве эталона. Для этого пути, первая прогулка на Северный полюс, а затем повернуть на 90 градусов и идти вниз к экватору, и , наконец , повернуть на 90 градусов и идти назад к началу.

Однако теперь теннисная ракетка будет указывать в обратном направлении (на востоке). Этот процесс сродни параллельно транспортировка вектора вдоль пути и разница определяет , как линии , которые появляются «прямо» только «прямые» на местном уровне. Каждый раз , когда цикл завершен теннисная ракетка будет отклоняться дальше от своего начального положения на величину в зависимости от расстояния и кривизны поверхности.

Понятие искривленного пространства в математике отличается от разговорного использования. Например, если вышеупомянутый процесс был завершен на цилиндре можно было бы обнаружить , что она не изогнуты в целом как кривизна вокруг цилиндра сокращается с плоскостности вдоль цилиндра, это является следствием гауссовой кривизны и теоремы Гаусса-Бонне . Известным примером этого является гибкий пиццы , который будет оставаться жесткой по всей его длине , если она изогнута вдоль ее ширины.

Тензор кривизны Римана представляет собой способ захвата меры внутренней кривизны. Когда вы запишите его с точкой зрения его компонентов (например, записывая компоненты вектора), она состоит из многомерного массива сумм и произведений частных производных (некоторые из этих частных производных можно рассматривать как родственный захват кривизна накладывается на кого-то, идущего по прямой линии на кривой поверхности).

Формально

Когда вектор в евклидовом пространстве переносится параллельно вдоль петли, она вновь указывает на первоначальное направление после возвращения в исходное положение. Однако это свойство не имеет места в общем случае. Тензор кривизны непосредственно измеряет провал этого в общем риманова многообразия . Эта неудача известна как не- голономия многообразия.

Пусть х т кривая в риманова многообразия М . Обозначим через τ х т  : Т х 0 М → Т х т М параллельный перенос карты вдоль х т . Параллельные карты транспорта связаны с ковариантной производной по

∇Икс˙0Yзнак равноИтчас→01час(YИкс0-τИксчас-1(YИксчас))знак равноddT(τИксTY)|Tзнак равно0{ Displaystyle набла _ {{ точка {х}} _ {0}} У = Пт _ {ч к 0} { гидроразрыва {1} {ч}} влево (Y_ {X_ {0}} – тау _ {X_ {ч}} ^. {- 1} (Y_ {X_ {ч}}) справа) = влево { гидроразрыва {d} {дт}} ( тау _ {X_ {т} } Y) право | _ {т = 0}}

для каждого векторного поля Y определен вдоль кривой.

Предположим , что X и Y являются парой коммутирующих векторных полей. Каждое из этих полей создает один параметрическую группу диффеоморфизмов а в окрестности точки х 0 . Обозначим через т ТХ и т TY , соответственно, параллельных переносов вдоль потоков X и Y для времени т . Параллельный перенос вектора Z ∈ T х 0 М вокруг четырехугольника со сторонами TY , Sx , – Ty , – Sx дается

τsИкс-1τTY-1τsИксτTYZ,{ Displaystyle тау _ {Sx} ^ {- 1} тау _ {Ty} ^ {- 1} тау _ {Sx} тау _ {Ty} Z.}

ddsddTτsИкс-1τTY-1τsИксτTYZ|sзнак равноTзнак равно0знак равно(∇Икс∇Y-∇Y∇Икс-∇[Икс,Y])Zзнак равнор(Икс,Y)Z{ Displaystyle слева { гидроразрыва {d} {DS}} { гидроразрыва {d} {дт}} тау _ {Sx} ^ {-. 1} тау _ {Ty} ^ {- 1} тау _ {Sx} тау _ {Ty} Z право | _ {s = т = 0} = ( набла _ {X} набла _ {Y} – набла _ {Y} набла _ {X} – набла _ {[X, Y]}) Z = R (X, Y) Z}

где R представляет собой тензор кривизны Римана.

Координировать выражение

Преобразование в индексном тензор обозначений , тензор кривизны Римана задается

рρσμνзнак равноdИксρ(р(∂μ,∂ν)∂σ){ Displaystyle R ^ { Rho} {} _ { Sigma му Nu} = дх ^ { Rho} (R ( парциальное _ { му}, парциальное _ { Nu}) парциальное _ { сигма})}

где координатные векторные поля. Приведенное выше выражение можно записать с помощью символов Кристоффеля :
∂μзнак равно∂/∂Иксμ{ Displaystyle парциальное _ { му} = частичной / парциальное х ^ { му}}

рρσμνзнак равно∂μΓρνσ-∂νΓρμσ ΓρμλΓλνσ-ΓρνλΓλμσ{ Displaystyle R ^ { Rho} {} _ { Sigma му Nu} = парциальное _ { му} Gamma ^ { Rho} {} _ { Nu Sigma} – парциальное _ { ню} Gamma ^ { Rho} {} _ { мю сигма} Gamma ^ { Rho} {} _ { му Lambda} Gamma ^ { Lambda} {} _ { Nu сигм } – Gamma ^ { Rho} {} _ { Nu лямбда} Gamma ^ { Lambda} {} _ { мю сигма}}

Симметрии и идентичности

р(U,v)знак равно-р(v,U){ Displaystyle R (и, v) = – R (v, и) _ {} ^ {}}

⟨р(U,v)вес,Z⟩знак равно-⟨р(U,v)Z,вес⟩{ Displaystyle Лангле R (U, V) W, Z rangle = – Лангле R (U, V) Z, W rangle _ {} ^ {}}

р(U,v)вес р(v,вес)U р(вес,U)vзнак равно0,{ Displaystyle R (U, V) W R (V, W) U R (W, U) V = 0 _ {} ^ {}.}

https://www.youtube.com/watch?v=ytpressen-GB

Здесь кронштейн относится к внутреннему продукту на касательном пространстве , индуцированного метрического тензора . Последнее тождество было открыто Риччи , но часто называют первое тождество Бьянки или алгебраическое тождество Бьянки , потому что он похож на Bianchi идентичности ниже. (Кроме того , если существует ненулевая кручения , первое тождество Бьянки становится дифференциальным тождеством тензора кручения .

) Эти три тождеств образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, выполняется тождества выше, можно найти риманова многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые расчеты показывают , что такой тензор имеет независимые компоненты.
⟨,⟩{ Displaystyle Лангле, rangle}N2(N2-1)/12{ Displaystyle п ^ {2} (п ^ {2} -1) / 12}

⟨р(U,v)вес,Z⟩знак равно⟨р(вес,Z)U,v⟩,{ Displaystyle Лангле R (U, V) W, Z rangle = Лангле R (W, г) и, г rangle _ {} ^ {}.}

На риманове многообразие один имеет ковариантные производную и тождество Бьянки (часто называемую второй идентификатором Бьянки или дифференциальная Бьянка идентичность) принимает вид:
∇Uр{ Displaystyle набла _ {и} R}

(∇Uр)(v,вес) (∇vр)(вес,U) (∇веср)(U,v)знак равно0.{ Displaystyle ( набла _ {и} R), (V, W) ( набла _ {v} R), (ж, и) ( набла _ {ш} R) (U, V) = 0. }

Косая симметрия

рaбсdзнак равно-рбaсdзнак равно-рaбdс{ Displaystyle R_ {ABCD} ^ {} = – R_ {BACD} = – R_ {ABDC}}

Interchange симметрия

рaбсdзнак равнорсdaб{ Displaystyle R_ {ABCD} ^ {} = R_ {CDAB}}

Во-первых (алгебраическое) Bianchi идентичность

рaбсd рaсdб рadбсзнак равно0{ Displaystyle R_ {ABCD} R_ {AcDb} {R_ adbc} ^ {} = 0}

Это часто пишется

рa[бсd]знак равно0,{ Displaystyle R_ {а [BCD]} ^ {} = 0,}

где обозначают скобки антисимметричную часть по указанным показателям. Это эквивалентно предыдущей версии идентичности , поскольку тензор Римана уже перекос на последних двух индексов.

Во-вторых (дифференциальный) Bianchi идентичность

рaбсd;е рaбdе;с рaбес;dзнак равно0{ Displaystyle R_ {ABCD; е} ^ {} {R_ ABDE; с} ^ {} {R_ ABEC; д} ^ {} = 0}

Запятая обозначает ковариантную производную. Эквивалентное

рaб[сd;е]знак равно0{ Displaystyle R_ {аб [кд; е]} ^ {} = 0}

снова используя антисимметрию на двух последних показателей R .

Алгебраические симметрии также равносильно тому, что R принадлежит образу молодого симметризатора соответствующего раздела 2 2.

кривизна Риччи

Кривизна Риччи тензор сжатие первых и третьих индексы тензора Римана.

рaб⏟Ricci≡рс⁡aсб⏟Риманазнак равногсdрсadб⏟Римана{ Displaystyle underbrace { OperatorName {R} _ {аЬ}} _ { текст {Ricci}} эквив underbrace { OperatorName {R} ^ {с} {} _ {ACB}} _ { текст { Риман}} = г ^ {кд} underbrace { OperatorName {R} _ {CADB}} _ { текст {Риман}}}

Особые случаи

Поверхности

рaбсdзнак равное(р)(гaсгdб-гadгсб){ Displaystyle R_ {ABCD} ^ {} = F (R) (g_ {ас} {g_ дБ} {-g_ объявления} g_ {} CB) ,}

рaбсdзнак равноК(гaсгdб-гadгсб){ Displaystyle R_ {ABCD} ^ {} = K (g_ {ас} g_ {дБ} -g_ {объявление} {g_ центибар}) }

где это метрический тензор и является функция , называемая гауссова кривизна и а , б , гр и d принимают значения либо 1 , либо 2. тензор Римана имеет только один функционально независимый компонент. Гауссова кривизна совпадает с секционной кривизной поверхности. Кроме того , ровно половина скалярная кривизна из 2-многообразия, в то время как кривизна Риччи тензор поверхности просто задается
гaб{ Displaystyle g_ {аЬ}}Кзнак равнор/2{ Displaystyle K = R / 2}

рaбзнак равноКгaб,{ Displaystyle OperatorName {R} _ {AB} = {Kg_ AB}. ,}

Космические формы

Риманово многообразие является пространственной формой , если ее секционная кривизна равна постоянной K . Тензор Римана из пространственной формы задается

рaбсdзнак равноК(гaсгdб-гadгсб),{ Displaystyle R_ {ABCD} ^ {} = K (g_ {ас} g_ {дБ} -g_ {объявление} {g_ центибар}).}

https://www.youtube.com/watch?v=ytabouten-GB

С другой стороны , за исключением размерности 2, если кривизна риманова многообразия имеет такой вид для некоторой функции K , то тождества Bianchi означают , что К является постоянным и , таким образом , что многообразие (локально) пространственная форма.

Рекомендации

• Бесс, А. Л. (1987), эйнштейновы многообразия , Springer
• Kobayashi, S .; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии , т. 1, Interscience
• Миснер, Charles W. ; Торн, Кип С. ; Wheeler, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0